Jika \( \int_a^b f’(x) f(x) \ dx = 10 \) dan \( f(a) = 2+f(b) \), nilai \(f(b) = \cdots\)
- -2
- -4
- -6
- -8
- -10
(SIMAK UI 2019)
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal integral ini, kita harus pandai memanfaatkan informasi yang diberikan dalam soal. Perhatikan penyelesaiannya berikut ini:
\begin{aligned} f(a) = 2 + f(b) \Leftrightarrow f(b)-f(a) &= -2 \qquad \cdots(1) \\[8pt] \int_a^b f'(x) f(x) \ dx = 10 \Leftrightarrow \int_a^b f(x) d(f(x)) &= 10 \\[8pt] \left[\frac{1}{2}f^2(x) \right]_a^b &= 10 \\[8pt] \frac{1}{2}(f^2(b)-f^2(a)) &= 10 \\[8pt] (f(b)-f(a))(f(b)+f(a)) &= 20 \\[8pt] -2 (f(b)+f(a)) &= 20 \\[8pt] f(b)+f(a) &= 10 \qquad\cdots(2) \end{aligned}
Selanjutnya, dengan cara eliminasi persamaan (1) dan (2) di atas, diperoleh \( f(b) = -6 \).
Jawaban C.